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vonreynard
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 [我的老帖子]最大二分图匹配 使用匈牙利算法

0
      二分图指的是这样一种图:其所有的顶点分成两个集合M和N,其中M或N中任意两个在同一集合中的点都不相连。二分图匹配是指求出一组边,其中的顶点分别在两个集合中,并且任意两条边都没有相同的顶点,这组边叫做二分图的匹配,而所能得到的最大的边的个数,叫做最大匹配。 pB%oFWqK  
X .K*</(g  
计算二分图的算法有网络流算法和匈牙利算法(这两种是比较有效的),其中匈牙利算法是比较巧妙的,具体过程如下(转自组合数学): RgM=g8}M  
;vpq0t`  
令g=(x,*,y)是一个二分图,其中x={x1,x2...},y={y1,y2,....}.令m为g中的任意匹配。 9]/:B8k  
8S[bt@v  
1。将x的所有不与m的边关联的顶点表上¥,并称所有的顶点为未扫描的。转到2。 bV#j@MJ~0  
c+whpQ=01  
2。如果在上一步没有新的标记加到x的顶点上,则停,否则 ,转3 O\%0D.HEz  
uOd1:\%*  
3。当存在x被标记但未被扫描的顶点时,选择一个被标记但未被扫描的x的顶点,比如xi,用(xi)标 eV;nTj  
/Vx EqIK  
记y 的所有顶点,这些顶点被不属于m且尚未标记的边连到xi。 e?]HNy  
KWi|7z(L=  
现在顶点xi 是被扫描的。如果不存在被标记但未被扫描的顶点,转4。 r,L`@A=v  
jz\>VYi(7  
4。如果在步骤3没有新的标记被标记到y的顶点上,则停,否则转5。 2Z`Jr/  
#TeAw<2U  
5。当存在y被标记但未被扫描的顶点时。选择y的一个被标记但未被扫描的顶点,比如yj, ]/[@.   
n# FkgXP$  
用(yj)标记x的顶点,这些顶点被属于m且尚未标记的边连到yj。现在,顶点yj是被扫描的。 " #U-*Z7  
#wh[F"zX  
如果不存在被标记但未被扫描的顶点则转道2。 _u~`RlA  
H87k1^}HV  
由于每一个顶点最多被标记一次且由于每一个顶点最多被扫描一次,本匹配算法在有限步内终止。 `+UBl\j  
z`]:\j'O3"  
代码实现: (^<skx>  
v~YGef;D  
bfs过程: /<o?T{z<-  
#210 Yp#  
#include<stdio.h> }5B\:*yW  
#include<string.h> oS_YQOoD  
main() `2q]ju  
{ .j"@7#tW  
bool map[100][300]; Ir5E*op7D  
int i,i1,i2,num,num1,que[300],cou,stu,match1[100],match2[300],pque,p1,now,prev[300],n; ;g<y{o"Q3p  
scanf("%d",&n); Nfmr5MU_  
for(i=0;i<n;i++) UcB2Aauji  
{ #"[EVF0%1D  
  scanf("%d%d",&cou,&stu); F-D$Y?m  
  memset(map,0,sizeof(map)); TR'_v[uK3  
  for(i1=0;i1<cou;i1++) w@a|_?  
  { Yv"B-oy  
  scanf("%d",&num); ]qEg5:yY  
  for(i2=0;i2<num;i2++) \|Y_,fi  
  { z|$9%uz"  
    scanf("%d",&num1); NA#,q 8  
    map[i1][num1-1]=true; SPtx_+ Q)S  
  } ?&VKZSo  
  } `9acR>00$  
  num=0;  gq} c  
  memset(match1,int(-1),sizeof(match1)); VaO[SW^  
  memset(match2,int(-1),sizeof(match2)); ##OCfCW  
  for(i1=0;i1<cou;i1++) *lQa^F  
  { ? Q"1zcX  
  p1=0; &/g^J\0M)  
  pque=0; `A8ErfA  
  for(i2=0;i2<stu;i2++) vXG?8Q  
  { S[N9/2  
    if(map[i1][i2]) x]t$Zb/Uxa  
    { 6wZ)GLW[  
    prev[i2]=-1; QI78/gT,d  
    que[pque++]=i2; Hk=HO|&<XB  
    } #RHt;SFx  
    else 4`") aM  
    prev[i2]=-2; //%#?JJV  
  } y>^0q/=]?O  
  while(p1<pque) QH?sx k2  
  { [ B*r{  
    now=que[p1]; ~Bi%8G  
    if(match2[now]==-1) ?F*I2rt#  
    break; Ei=rBi  
    p1++; dEW= V"W  
    for(i2=0;i2<stu;i2++) p 8Z;QH*  
    { 6E.[F\u  
    if(prev[i2]==-2&&map[match2[now]][i2]) (^E5y,H<g  
    { s^Xs*T@~h  
      prev[i2]=now; m)Wq*&,o  
      que[pque++]=i2; 4t>"-/  
    } oA@c.%&  
    } ew]G@66  
  } e>bARK<  
  if(p1==pque) *kcc]*6@s  
    continue; Bx6,U4o*  
  while(prev[now]>=0) =d]}7PO ~  
  { 5u3KL A  
    match1[match2[prev[now]]]=now; {L [   
    match2[now]=match2[prev[now]]; H({m1v ~R  
    now=prev[now]; (@;^uVJP  
  } 16 \)C/*  
  match2[now]=i1; ?e,:x ]\L  
  match1[i1]=now; IM5[O}aq  
  num++; AlkHf]oB  
  } L4bYVTm|  
  if(num==cou) kk4+>mk  
  printf("YES\n"); k 8%@PC$  
  else 5UG9&:zu'V  
  printf("NO\n"); Ih4$MG6QC  
} jzBW'8  
} a'. 7)f[g}  
EuImj#Zl  
dfs实现过程: bf {_U%`  
'cQ,;y  
#include<stdio.h> Q1rEUbvCE  
#include<string.h> P#`M8k  
#define MAX 100 WWH<s%C  
5h0Hk<N  
bool map[MAX][MAX],searched[MAX]; B([-GpZt[  
int prev[MAX],m,n; }V`_ (%Q-e  
jZ:/d!$S  
bool dfs(int data) cMnN} '  
{ !H{>c@i  
int i,temp; 2oRwDg&7|  
for(i=0;i<m;i++) * fj`+J  
{ E)f9`][  
  if(map[data]&&!searched) ^;.u }W  
  { WVK AA.  
  searched=true; b-#lKW so  
  temp=prev; u/-EVCHr y  
  prev=data; }Nwp{["}]L  
  if(temp==-1||dfs(temp)) "#-iD  
    return true; t u{~:Z(  
  prev=temp; -1d*zySL  
  } tcsb]/my  
} R8eBIJ/@_  
return false; ?A_+G 5  
} _KxR~k^  
%dq%+yw{%m  
main() ;in-)`UC!  
{ VKX|0~  
int num,i,k,temp1,temp2,job; b7I0R; Zj  
while(scanf("%d",&n)!=EOF&&n!=0) &z:bZH]DH  
{ i20y\V os?  
  scanf("%d%d",&m,&k); K%mR=u#%&  
  memset(map,0,sizeof(map)); ]&q<O0^'  
  memset(prev,int(-1),sizeof(prev)); ujmIS~"  
  memset(searched,0,sizeof(searched)); $qdynKK  
  for(i=0;i<k;i++) Fb8d= Zc  
  { ) 5$?e  
  scanf("%d%d%d",&job,&temp1,&temp2); &Mudu/KTr  
  if(temp1!=0&&temp2!=0) q{f\_2[  
    map[temp1][temp2]=true; RtHai[j  
  } ,(K-;Id4  
  num=0; M|%bxG^l  
  for(i=0;i<n;i++) B>!mD{N  
  { R<6y7?]bZ  
  memset(searched,0,sizeof(searched)); 6Z J-oT!.  
  dfs(i); 3x+=7Mg9  
  } 'b}RFzEn  
  for(i=0;i<m;i++) ?#(LH\$l_  
  { U), HrI>;  
  if(prev!=-1) >Jx=k"Kv+  
    num++; !ae?EJm"  
  } ,-E'059  
  printf("%d\n",num); GuU-< *u(d  
} 9S}rTZkEq  
} pY )x&uM!  
sfn^R+x4,9  
享生一世澜陨阔
斯年寸草何足灼
留待后世话今昔
烈风细雨笑声谈
顶端 Posted: 2007-12-29 14:50 | [楼 主]
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老王去掺合过的百度百科定义 )]5}d$83  
哈哈 o@KK/f  
匈牙利算法 P ||:?3IH  
求最大匹配的一种显而易见的算法是:先找出全部匹配,然后保留匹配数最多的。但是这个算法的复杂度为边数的指数级函数。因此,需要寻求一种更加高效的算法。 J-g<-!>RM  
增广路的定义(也称增广轨或交错轨): vMV}M%~  
若P是图G中一条连通两个未匹配顶点的路径,并且属M的边和不属M的边(即已匹配和待匹配的边)在P上交替出现,则称P为相对于M的一条增广路径。 F"Y.'my8  
由增广路的定义可以推出下述三个结论: -(]s!,  
1-P的路径长度必定为奇数,第一条边和最后一条边都不属于M。 qKg*/)sD(  
2-P经过取反操作可以得到一个更大的匹配M’。 0xYPK7a=L\  
3-M为G的最大匹配当且仅当不存在相对于M的增广路径。 [~<X|_L G  
用增广路求最大匹配(称作匈牙利算法,匈牙利数学家Edmonds于1965年提出) 3B5GsI  
算法轮廓: e1 j3X\ \  
(1)置M为空 +bw>9VmG  
(2)找出一条增广路径P,通过取反操作获得更大的匹配M’代替M |8m;}&r$  
(3)重复(2)操作直到找不出增广路径为止 9zKrFqhNo  
_3YuPMaN  
程序清单: ZCAdCKX|  
#include<stdio.h> $R2iSu{kO  
#include<string.h> jLRh/pbz4  
fvDt_g9oI  
bool g[201][201]; V9 dRn2- [  
int n,m,ans; 5HZt5="+  
bool b[201]; .m]"lH*  
int link[201]; 5mxYzu;#]  
 M[^  
bool init() qBKRm0<W  
{ =skw@c ^  
        int _x,_y; gua +-##)  
        memset(g,0,sizeof(g)); \CP)$0j-&o  
        memset(link,0,sizeof(link)); w@&4dau  
        ans=0; \<}4D\qz  
        if(scanf("%d%d",&n,&m)==EOF)return false; 4' ym vR  
        for(int i=1;i<=n;i++) LX [_6  
        { (}W+W\.  
                scanf("%d",&_x); F~`Yh6v  
                for(int j=0;j<_x;j++) )AxgKBW  
                { &Hb;; Ic(  
                        scanf("%d",&_y); []'gIF  
                        g[ i ][_y]=true; eDh]uKg  
                } o=t@83Fh5  
        } TSGJ2u5ie%  
        return true; cmLGMlFT  
} \(ygdZ{R  
cBZK t  
bool find(int a) otA59 ;Z  
{ LH=gNFgzt  
        for(int i=1;i<=m;i++) LW={| 3}  
        { O%g Q  
                if(g[a][ i ]==1&&!b[ i ]) BB x359  
                { qc(R /[  
                        b[ i ]=true; g[oa'.*OB  
                        if(link[ i ]==0||find(link[ i ])) BHVC&F*>  
                        { Vs[A  
                                link[ i ]=a; e -!6m #0  
                                return true; kPhdfF*Q  
                        } "!V-@F$@N  
                } mH1T|UI  
        } 7Ei,L[{\i#  
        return false; L}~"R/iWCT  
} 7U9*-9  
!lVOZ %  
int main() 1zGD~[M  
{ T*Dd% f  
        while(init()) F@]9 oF  
        { 2 c 2lK  
                for(int i=1;i<=n;i++) 6`PQP;   
                { lm;Dy*|<  
                        memset(b,0,sizeof(b)); wtl3Ex,DO  
                        if(find(i))ans++; ag_*Z\  
                } ':>u*  
                printf("%d\n",ans); Y>/T+ub  
        } ?XlPK Y  
} `WUyffS/!  
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留待后世话今昔
烈风细雨笑声谈
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