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vonreynard
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 [我的老帖子]最大二分图匹配 使用匈牙利算法

0
      二分图指的是这样一种图:其所有的顶点分成两个集合M和N,其中M或N中任意两个在同一集合中的点都不相连。二分图匹配是指求出一组边,其中的顶点分别在两个集合中,并且任意两条边都没有相同的顶点,这组边叫做二分图的匹配,而所能得到的最大的边的个数,叫做最大匹配。 \/1~5mQ+  
7{U[cG+a#  
计算二分图的算法有网络流算法和匈牙利算法(这两种是比较有效的),其中匈牙利算法是比较巧妙的,具体过程如下(转自组合数学): =M 8Mt/P  
i%133in  
令g=(x,*,y)是一个二分图,其中x={x1,x2...},y={y1,y2,....}.令m为g中的任意匹配。 &k)+]r  
2+pw%#fe  
1。将x的所有不与m的边关联的顶点表上¥,并称所有的顶点为未扫描的。转到2。 Q3ZGN1aX<  
LF.i0^#J  
2。如果在上一步没有新的标记加到x的顶点上,则停,否则 ,转3 mL1ZSX o!  
Y_*KAr'{P  
3。当存在x被标记但未被扫描的顶点时,选择一个被标记但未被扫描的x的顶点,比如xi,用(xi)标 a'` i#U  
K_U`T;Z\  
记y 的所有顶点,这些顶点被不属于m且尚未标记的边连到xi。 FsUH/Y y  
= z5=?  
现在顶点xi 是被扫描的。如果不存在被标记但未被扫描的顶点,转4。 9hK8dJw  
;woK96"{t  
4。如果在步骤3没有新的标记被标记到y的顶点上,则停,否则转5。 }k AE  
\Yp"D7:Qi  
5。当存在y被标记但未被扫描的顶点时。选择y的一个被标记但未被扫描的顶点,比如yj, |qpm  
;xTMOuI*  
用(yj)标记x的顶点,这些顶点被属于m且尚未标记的边连到yj。现在,顶点yj是被扫描的。 zk70D_}L  
DDIRJd<J  
如果不存在被标记但未被扫描的顶点则转道2。 Q >yj<DR  
aEQrBs  
由于每一个顶点最多被标记一次且由于每一个顶点最多被扫描一次,本匹配算法在有限步内终止。 `o_i+?E  
^38k xwh  
代码实现:  svo%NQ  
9[{q5  
bfs过程: :'t"kS  
eG1A7n'6W  
#include<stdio.h> 4u p7 :?  
#include<string.h> t(,2x%{  
main() HE4S%#bH>  
{ %RIu'JXi  
bool map[100][300]; |Qpo[E }a  
int i,i1,i2,num,num1,que[300],cou,stu,match1[100],match2[300],pque,p1,now,prev[300],n; GYT0zMMf  
scanf("%d",&n); 99zMdo S  
for(i=0;i<n;i++) Odt<WG  
{ EA:_PBZ  
  scanf("%d%d",&cou,&stu); C`oB [  
  memset(map,0,sizeof(map)); >]bS"S  
  for(i1=0;i1<cou;i1++) wGz_IL.D  
  { 2zjY|g/  
  scanf("%d",&num); 3z 5"Ckzb  
  for(i2=0;i2<num;i2++) Df $Yn  
  { w/0;N`YB  
    scanf("%d",&num1); YBk* CW9  
    map[i1][num1-1]=true; WdrMp  
  } ~r]$(V n  
  } xl,?Hh%#  
  num=0; n{F&GE="  
  memset(match1,int(-1),sizeof(match1)); BI6`@}%7>  
  memset(match2,int(-1),sizeof(match2)); X`}4=>  
  for(i1=0;i1<cou;i1++) o, qBMo^.  
  { 6;\Tps;A  
  p1=0; ukX KUYNm8  
  pque=0; h3-dJgb  
  for(i2=0;i2<stu;i2++) kh*td(pfP9  
  { 62xAS#\K>  
    if(map[i1][i2]) $5yH8JU  
    { /%)x!dmy  
    prev[i2]=-1; v/C*?/~  
    que[pque++]=i2; 1\Vp[^#Vx  
    } T+<OlXpL  
    else P0szY"}  
    prev[i2]=-2; u!VY6y7p  
  } )pt#Pu  
  while(p1<pque) A&;Pt/#'  
  { c:z<8#A}  
    now=que[p1]; TYr"yZ([  
    if(match2[now]==-1) 0f|nI8,z  
    break; ID v|i.q3  
    p1++; J"RmV@|  
    for(i2=0;i2<stu;i2++) +LAjh)m  
    { qc`UDD5  
    if(prev[i2]==-2&&map[match2[now]][i2]) ~C2[5r{So  
    { cn!Y7LVr  
      prev[i2]=now; ZnYoh/  
      que[pque++]=i2; rY&Y58./  
    } \?.Tq24  
    } a7Rg!%r  
  } VjVL/SO/  
  if(p1==pque) Fs EPM"&?h  
    continue; zmMz6\ $  
  while(prev[now]>=0) ;iEFG^'tG  
  { *z A1NH5  
    match1[match2[prev[now]]]=now; ?]L:j  
    match2[now]=match2[prev[now]]; PXYo@^ 3  
    now=prev[now]; :X6A9jmd  
  } hd}"%9p  
  match2[now]=i1; h0fbc;l  
  match1[i1]=now; Ug^v ]B9  
  num++; &t\KKsUtd  
  } 2x7%6'  
  if(num==cou) )0:@T)G  
  printf("YES\n"); wz P")}[0  
  else {6yiD  
  printf("NO\n"); "K8<X  
} .{1MM8 Q  
} Wh)QCp0|n  
P:")Qb2  
dfs实现过程: @edi6b1W  
C9q`x2  
#include<stdio.h> h.6yI  
#include<string.h> V}>0r+NL<  
#define MAX 100 N(]>(S o  
}>w;(R  
bool map[MAX][MAX],searched[MAX]; @Kd lX>i  
int prev[MAX],m,n; yp=2nU"o  
10JxfDceD  
bool dfs(int data) $zTjh~ 9  
{ m.MOn3n]  
int i,temp; ?.:C+*+  
for(i=0;i<m;i++) iaq0\d.[7  
{ ;&|ja]r  
  if(map[data]&&!searched) _wg6}3  
  { $H/3t?6h`  
  searched=true; \)ac,i@fy  
  temp=prev; Y>+\:O  
  prev=data; YXJjqH3  
  if(temp==-1||dfs(temp)) f4zd(J  
    return true; ~_SV `io  
  prev=temp; i`Es7 }  
  } [t /hjm"$  
} im_W0tGvF  
return false; abtAkf  
} 5-}4jwk  
<UG}P \N  
main() (?&X<=|"  
{ 'u$$scGt  
int num,i,k,temp1,temp2,job; '1=t{Rw  
while(scanf("%d",&n)!=EOF&&n!=0) -ny[Lh^b  
{ [[?:,6I  
  scanf("%d%d",&m,&k); G7`7e@{  
  memset(map,0,sizeof(map)); Ud:v3"1  
  memset(prev,int(-1),sizeof(prev)); ow ~(k5k:  
  memset(searched,0,sizeof(searched)); 5>q|c`&}E  
  for(i=0;i<k;i++) 'rU [V+  
  { <O>r e3s  
  scanf("%d%d%d",&job,&temp1,&temp2); Ym-uElWo  
  if(temp1!=0&&temp2!=0) IR|AlIv  
    map[temp1][temp2]=true; r<Ll>R  
  } Q,Hw@w<1  
  num=0; Q! ]  
  for(i=0;i<n;i++) Ip( IGR"  
  { >"B95$x5  
  memset(searched,0,sizeof(searched)); >.SU= HG;  
  dfs(i); gc7S_D~;  
  } ]6p?mBuQ  
  for(i=0;i<m;i++) `pE~M05  
  { 0CQ\e1S,#  
  if(prev!=-1) ~9p*zC3M  
    num++; P8Fq %k  
  } m]+g[L?-  
  printf("%d\n",num); <jQ?l% \  
} +L!-JrYHS4  
} ?7'uo$  
I`}-*% ki(  
享生一世澜陨阔
斯年寸草何足灼
留待后世话今昔
烈风细雨笑声谈
顶端 Posted: 2007-12-29 14:50 | [楼 主]
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老王去掺合过的百度百科定义 O:u^jcXA  
哈哈 3J [P(G>Q  
匈牙利算法 3z5,4ps  
求最大匹配的一种显而易见的算法是:先找出全部匹配,然后保留匹配数最多的。但是这个算法的复杂度为边数的指数级函数。因此,需要寻求一种更加高效的算法。 DVCc^5#  
增广路的定义(也称增广轨或交错轨): !E$S&zVMQ  
若P是图G中一条连通两个未匹配顶点的路径,并且属M的边和不属M的边(即已匹配和待匹配的边)在P上交替出现,则称P为相对于M的一条增广路径。 fEgZ/p!g  
由增广路的定义可以推出下述三个结论: ); $~/H4  
1-P的路径长度必定为奇数,第一条边和最后一条边都不属于M。 l~uRZLx  
2-P经过取反操作可以得到一个更大的匹配M’。 F1/f:<}  
3-M为G的最大匹配当且仅当不存在相对于M的增广路径。 d/* [t!   
用增广路求最大匹配(称作匈牙利算法,匈牙利数学家Edmonds于1965年提出) (zTr/  
算法轮廓: v3~,1)#aI  
(1)置M为空 IG#=}q  
(2)找出一条增广路径P,通过取反操作获得更大的匹配M’代替M )6!SFj>.O  
(3)重复(2)操作直到找不出增广路径为止 fT 8"1f|w  
GR|Vwxs<@P  
程序清单: (hmasy6hM  
#include<stdio.h> hDz_BvE  
#include<string.h> S Xgpj  
,ZH)[P)5P  
bool g[201][201]; -|V@zSKr3  
int n,m,ans; ;r`[6[AG  
bool b[201]; ~A"ODLgU9  
int link[201]; "\><UJ  
PJb_QL!9  
bool init() DhB: 8/J  
{ d~28!E+  
        int _x,_y; q9!5J2P  
        memset(g,0,sizeof(g)); >~XX'}  
        memset(link,0,sizeof(link)); N}s[0s  
        ans=0; rWa7"<`p  
        if(scanf("%d%d",&n,&m)==EOF)return false; t6 js@Ih  
        for(int i=1;i<=n;i++)  %_A1WC  
        { f~"3#MaV  
                scanf("%d",&_x); >-oa`im+  
                for(int j=0;j<_x;j++) E<~/AReo  
                { qf7.Sh  
                        scanf("%d",&_y); m#8KCZS  
                        g[ i ][_y]=true; }V9146  
                } )w/f 'fq  
        } IK}T. *[  
        return true; [i&z_e)  
} u4Vc:n  
b8QW^Z  
bool find(int a) fpoH7Jd V  
{ 6x -PGq  
        for(int i=1;i<=m;i++) a^sR?.+3  
        { c~c3;  
                if(g[a][ i ]==1&&!b[ i ]) -3KB:K<  
                { q2,@>#  
                        b[ i ]=true; 0<i~XN0g  
                        if(link[ i ]==0||find(link[ i ])) G+5G,|}  
                        { 7<NX;Fx  
                                link[ i ]=a; ifBJ$x(B.  
                                return true; w.0.||C O  
                        } O4-UVxv}  
                } O;,k~  
        } |,yS>kjp  
        return false; A+[wH(  
} &[3!Lk`.0  
t?c*(?Xa  
int main() 89 SsSb  
{ %X.Q\T  
        while(init()) {0QA+[Yd&!  
        { ]|732Z  
                for(int i=1;i<=n;i++) T;FzKfT|  
                { +rql7D0st  
                        memset(b,0,sizeof(b)); i[YYR,X|  
                        if(find(i))ans++; 2QBtwlQ?[  
                } -''vxt?7H&  
                printf("%d\n",ans); esLY1c%"/  
        } "= %-  
} xt`znNN  
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留待后世话今昔
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